Natürlich gibt es die gesetzlichen Fristen, aber die Vorgehensweisen in der Praxis weichen davon doch regelmässig ab. Wohlgemerkt mit gegenseitigem Einverständnis der Beteiligten.
Die Art der Abrechung, Zahl der Abschlagsrechnungen und die entsprechenden Fristen kann man in den Vorbemerkungen der Ausschreibung und im Bauvertrag genauer spezifizieren und festlegen.

Es ist dabei auch ein großer Unterschied ob es sich um einen öffentliche oder privaten bzw. gewerblichen Auftrag/Baumaßnahme handelt. Dann muß noch zwischen Abschlags- und Schlußrechnungen unterschieden werden.

Mit öffentlichen Aufträgen habe ich wenige Erfahrungen, aber es wird in fast allen Fällen so gehandhabt, daß man sich als Architekt über den aktuellen Stand der Baumaßnahme auf dem Laufenden hält und quasi parallel zum Baufortschritt eine eigene Rechnung führt um abschätzen zu können, wieviel Geld verbaut wurde und wieviel der Auftragssumme bereits ausgegeben sind.
Dadurch hat man einen sehr zeitnahen Überblick über die Kosten und kann eine eingehende Rechnung, denn maßgebend ist, wie Du bereits geschrieben hast der Posteingang beim Architekten, sofort bewerten und innerhalb von 2-3 Tagen mit einem entsprechenden Einbehalt, für weitere Prüfungen, freigeben.
Wenn die Rechnung offensichtlich stimmt, dann werden oftmals 90% sofort angewiesen um auch evtl. Skontofristen zu wahren. Für das weitere und genaue Prüfen der Rechnung kann man sich dann mehr Zeit nehmen.
Vielfach werden die ersten Abschlagsrechnungen nur auf Plausibilität geprüft und mit 10% Einbehalt (evtl. auch höherem Abzug für Sicherheitsleistungen bzw. Bürgschaften oder Allgemeinkosten (Baustrom, Reinigung, Entsorgung etc.)) freigegeben. Dann prüft man die vorletzte Abschlags-rechnung und die Schlußrechnung genau. Man muß natürlich zwischendurch unbedingt darauf achten, daß die Unternehmen zu keinem Zeitpunkt überbezahlt sind, weil sonst der notwendige Druck im Bedarfsfall nicht ausgeübt werden kann.